Ֆունկցիայի կիրառումը խնդիրներում


17 Jun
17Jun

Ֆունկցիայի առանձնահատկություների կիրառումը  որոշակի խնդիրներում թույլ է տալիս գտնել առավել հարմար տարբերակով օպտիմալ լուծումներ:

Քառակուսային ֆունկցիայի (և ոչ միայն)՝ у = f(х) = ax2 + bx + c, հետազոտությանը հանգեցնող առաջադրանքների   մեծամասնության դեպքում շատ օգտակար է պատկերացնել ֆունկցիայի գրաֆիկը, ինչպես նաև որոշ առաջադրանքների կատարման ժամանակ օդտագործել այդ ֆունկցիաների առանձնահատկությունները՝ առավել հեշտացնելով խնդրի լուծման եղանակը:

Եթե այն հատվում է Ох առանցքի հետ երկու կետերում (արմատներում) х1 և х2, ապա արմատների միջև у = f(х)  ֆունկցիայի  արժեքները հակադիր են а թվի նշանին, իսկ [х1; х2]  հատվածից դուրս  համընկնում են а թվի նշանի հետ:

Ընդ որում у = f(х) պարաբոլի գագաթը (աբսցիսը, որը հավասար է արմատների կիսագումարին՝ 

x= (x1+x2)/2) համապատասխանում է у = f(х) ֆունկցիայի էքստրեմումի կետին՝  մինիմումին, եթե а > 0, և մաքսիմումին, եթե а < 0: 

Դրա կիրառությունը առավելապես հարմար կլինի այն դեպքերում, երբ ֆունկցիան ներկայացված է հետևյալ տեսքով՝ y=a(x-x1)(x-x2):

 

Մի շարք առաջադրանքների դեպքում օգտակար է կիրառել այսպիսի փաստ.

Եթե у = f(х) ֆունկցիան [а, b] հատվածում անընդհատ է և այդ հատվածի ծայրակետերում ընդունում է տարբեր նշանի արժեքներ, ապա a և b կետերի միջև ընկած է  f(х) = 0 հավասարման արմատներից  գոնե մեկը:

Նմանատիպ առաջադրանքների լուծման գրաֆիկական եղանակի դրական կողմերից հարկ է նշել, որ այս մեթոդը թույլ է տալիս լուծել այնպիսի հավասարումներ, որոնք մենք չենք կարող (կամ կդժվարանանք) լուծել անալիտիկորեն:

Այժմ դիտարկենք մի քանի դեպք, թե ինչպես կարելի է ֆունկցիաներն օգտագործել խնդիրների լուծման ժամանակ:

 

Մի քանի խնդիրների լուծման օրինակներ:

Խնդիր 1. 

Հայտնի է, որ a+b+c<0 և ax2+bx+c=0 հավասարումն իրական արմատ չունի: Որոշեք c թվի նշանը:

 

Լուծում.

f (x) = ax2 +bx+ c 

Քառակուսային հավասարումը իրական արմատ չունի, դա նշանակում է, որ այն պահպանում է նույն նշանը x արգումենտի բոլոր արժեքների համար:

Քանի որ f (1) = a+ b+ c <0, ապա f (0) = c <0:

                                                                                         Պատասխան ՝ c <0:

 

Խնդիր 2.

Ճիշտ է արդյոք, որ եթե b > a + c > 0, ապա ax² + bx + c = 0  քառակուսային հավասարումն ունի 2 արմատ:

Լուծում.

Դիտարկենք f(x) = ax² + bx + c ֆունցիան:  Պայմանից հետևում է, որ 

  f(–1) = а – b + < 0, իսկ   f(1) = а + b + > 0. 

        Այսինքն ֆունկցիայի գրաֆիկը պետք է հատի աբսցիսների առանցքըիսկ     քանի որ այն պարաբոլ էհետևաբար այն հատում է այդ առանցքը 2 կետերում:

                                                                                             Պատասխան՝ ճիշտ է:


ԴիտարկումԽնդրի պայմանում  a + > 0  էական էքանի որ օրինակ՝ 

 b = 0-ի դեպքում, a = c = –1, կստանանք  – x² – 1 = 0 հավասարումը, որն արմատներ չունի:

 

Խնդիր 3.

 x-ի որ արժեքների դեպքում ՝ 

x4- 2x2+ a(7 cos x- 2x2)+ 7a2= 0     հավասարումն ունի միակ արմատը:

Լուծում.

Եթե տրված հավասարման լուծումը նշանակենք x0; ապա (- x0) -ն նույնպես կհանդիսանա տվյալ հավասարման լուծումը՝ հաշվի առնելով հավասարման ձախ մասի ֆունկցիայի զույգությունը: Այստեղից հետևում է, որ  x0=0: 

X=0-ի դեպքում Հավասարումը կունենա այսպիսի տեսք՝

7a+ 7a2= 0;   a= 0  կամ a= -1:

Այսպիսով,  պարամետրի թույլատրելի արժեքները կլինեն՝ 0 և -1: 

Ստուգենք.  

 a= 0  -ի դեպքում մեր հավասարումը կունենա հետևյալ տեսքը՝

x4- 2x2=0;  

x2(x2- 2)=0;                     x1=0;           x2,3=± 2

Երեք լուծում, հետևաբար, 𝑎 = 0- ն  չի բավարարում մեր խնդրի պայմանին: 

𝑎 = −1 -ի համար հավասարումը ստանում է հետևյալ տեսքը՝

x − 2x 2 − 7𝑐𝑜𝑠 x + 2 x 2 + 7 = 0 ⟹   x 4 + 7 = 7𝑐𝑜𝑠 x

Հավասարման ձախ կողմը x 4 + 7  ≥  7 է, աջ կողմը ՝ 7𝑐𝑜𝑠x ≤ 7:

 Այսինքն մեզ մնում է լուծել այս հավասարումների համակարգը: 

   7cosx = 7,   x 4 + 7 = 7,  որտեղ  x = 0-ն միակ լուծումն է: 

Այստեղից ՝ 𝑎 = −1:

 

                                                                                       Պատասխան ՝ 𝑎 = −1:

Խնդիր 4.

a և b պարամետրերի ո՞ր արժեքների դեպքում է (2a –b +1)x + 2a + b -3=0 հավասարումն ունի առնվազն երկու տարբեր լուծումներ:

 Լուծում. 

Ինչ վերաբերում է ցանկացած գծային հավասարման լուծումների բազմությանը, ապա հնարավոր են միայն հետևյալ դեպքերը. Լուծումը միակն է, լուծումներ չկան, և լուծումների բազմությունը համընկնում է

 R- ի հետ, այնպես որ, եթե գծային հավասարումը առնվազն երկու տարբեր լուծումներ ունի, ապա հավասարման լուծումների բազմությունը անպայման համընկնում է R- իրական թվերի բազմության  հետ: Դա հնարավոր է միայն և միայն այն դեպքում, երբ x- ի  գործակիցը և հավասարման ազատ անդամը միաժամանակ հավասար են 0 - ի, այսինքն.

2a – b + 1 = 0; 2a + b – 3 = 0   ⇔     2a – b = -1;   2a + b = 3  a = 1/2, b = 2:

                                                                                Պատասխան ՝ a = 1/2, b = 2:

Comments
* The email will not be published on the website.